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8.3 Differentiating xn

幂函数求导总结 - 指数乘系数，指数减一法则

核心公式

幂函数求导法则

对任意实数 \( n \) 和常数 \( a \)，幂函数的导数规则为：

若 \( f(x) = x^n \)，则 \( f'(x) = nx^{n-1} \)
若 \( y = ax^n \)，则 \( \frac{dy}{dx} = anx^{n-1} \)

口诀："指数乘系数，指数减一"

法则记忆：例如，\( y = 3x^4 \) 的导数是 \( 3 \times 4x^{4-1} = 12x^3 \)。系数3乘以指数4，指数减1变为3。

应用技巧

转化技巧

  • 根式转化：将根式（如 \( \sqrt{x} \)、\( \sqrt[3]{x} \)）转化为分数指数幂（如 \( x^{\frac{1}{2}} \)、\( x^{\frac{1}{3}} \)）
  • 分式转化：将分式（如 \( \frac{1}{x^2} \)、\( \frac{1}{x^3} \)）转化为负指数幂（如 \( x^{-2} \)、\( x^{-3} \)）
  • 复杂形式：对复杂表达式先化简（如合并同底数幂、开方运算），再求导

求点梯度技巧

  • 两步法：先求导函数，再代入点的横坐标计算
  • 隐函数：对于不能直接解出显函数的方程，使用隐式求导或显式化两种方法
应用示例

求 \( y = \frac{2x^3}{\sqrt{x}} \) 的导数：

先化简：\( y = 2x^3 \cdot x^{-\frac{1}{2}} = 2x^{3 - \frac{1}{2}} = 2x^{\frac{5}{2}} \)

再求导：\( \frac{dy}{dx} = 2 \times \frac{5}{2} x^{\frac{5}{2} - 1} = 5x^{\frac{3}{2}} = 5\sqrt{x^3} \)

重要导数公式汇总

基本幂函数导数

\( f(x) = x^n \) → \( f'(x) = nx^{n-1} \)
\( f(x) = ax^n \) → \( f'(x) = anx^{n-1} \)
\( f(x) = x \) → \( f'(x) = 1 \)
\( f(x) = x^2 \) → \( f'(x) = 2x \)
\( f(x) = x^3 \) → \( f'(x) = 3x^2 \)

分数指数幂函数导数

\( f(x) = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x} \) → \( f'(x) = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}} \)
\( f(x) = x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x} \) → \( f'(x) = \frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}} = \frac{1}{3\sqrt[3]{x^2}} \)

负指数幂函数导数

\( f(x) = x^{-1} = \frac{1}{x} \) → \( f'(x) = -x^{-2} = -\frac{1}{x^2} \)
\( f(x) = x^{-2} = \frac{1}{x^2} \) → \( f'(x) = -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)
\( f(x) = x^{-3} = \frac{1}{x^3} \) → \( f'(x) = -3x^{-4} = -\frac{3}{x^4} \)

几何意义

几何解释：幂函数 \( y = ax^n \) 的导数 \( y' = anx^{n-1} \) 表示该函数在任意点处的切线斜率。

  • n > 1：函数递增且越来越陡峭（凸函数）
  • 0 < n < 1：函数递增但越来越平缓（凹函数）
  • n = 1：线性函数，导数为常数
  • n < 0：减函数，在定义域内有渐近线
直观理解

对于 \( y = x^2 \)，导数 \( y' = 2x \) 在x>0时为正且递增，说明抛物线在原点右侧向上开口且越来越陡峭。

学习要点速记

核心要点总结

  • 基本法则：对于任何实数 \( n \) 和常数 \( a \)，\( \frac{d}{dx}(ax^n) = anx^{n-1} \)
  • 转化技巧：将根式、分式等非标准形式转化为分数/负指数幂形式
  • 求点梯度：先求导函数，再代入点的横坐标计算
  • 复合函数：对于复合幂函数，使用链式法则求导
  • 几何意义：导数表示切线斜率，反映函数的瞬时变化率
学习价值

幂函数求导的关键是"将非标准形式（根式、分式）转化为 \( ax^n \)，再用'指数乘系数，指数减1'"。核心是熟练应用幂函数求导规则，包括基本幂函数、复合幂函数和在特定点的梯度计算。

常见错误提醒

易错点分析

  • 指数错误：记住是"指数减1"，不是"指数加1"
  • 系数遗漏：忘记将常数系数与指数相乘
  • 负指数误解：负指数幂求导后指数会更负
  • 根式转化：注意根式的指数形式
  • 复合函数：对于复合幂函数，要正确使用链式法则
易错示例

求 \( y = \frac{1}{x^2} \) 的导数，很多学生会写成 \( -\frac{1}{2x} \)，但正确应该是 \( -\frac{2}{x^3} \)。要记住：先转化成 \( x^{-2} \)，导数为 \( -2x^{-3} = -\frac{2}{x^3} \)。

学习建议

练习建议

  • 多练习转化：熟练掌握根式、分式与指数幂的相互转化
  • 重视基础：从简单幂函数开始，逐步增加复杂度
  • 理解本质：通过几何意义理解导数的物理含义
  • 掌握复合函数：复合幂函数求导需要熟练运用链式法则

长远价值：掌握幂函数求导是微积分的基础，它为求解更复杂的函数导数提供了基本工具。通过练习可以培养代数运算能力和模式识别能力，为后续学习奠定坚实的基础。